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El objetivo aqu\u00ed es trazar tri\u00e1ngulos en la parte superior de estas l\u00edneas de modo que los tri\u00e1ngulos satisfagan dos requisitos: Primero, no hay dos tri\u00e1ngulos que compartan un borde. (Los sistemas que cumplen con este requisito se denominan sistemas triples de Steiner). Y segundo, aseg\u00farese de que cada peque\u00f1o subconjunto de tri\u00e1ngulos utilice una cantidad suficientemente grande de nodos.<\/p>\n
La forma en que los investigadores hicieron esto quiz\u00e1s se entienda mejor con una analog\u00eda.<\/p>\n
Digamos que en lugar de hacer tri\u00e1ngulos con bordes, est\u00e1s construyendo casas con ladrillos de Lego. Los primeros edificios que haces son extravagantes, con refuerzos estructurales y ornamentaci\u00f3n elaborada. Una vez que hayas terminado con estos, d\u00e9jalos a un lado. Servir\u00e1n como un \u00ababsorbedor\u00bb, una especie de reserva estructurada.<\/p>\n
Ahora empieza a hacer edificios con los ladrillos que te quedan, procediendo sin mucha planificaci\u00f3n. Cuando su suministro de Legos disminuye, es posible que se encuentre con algunos ladrillos sueltos o casas que no sean s\u00f3lidas estructuralmente. Pero dado que los edificios absorbentes est\u00e1n tan exagerados y reforzados, puede arrancar algunos ladrillos aqu\u00ed y all\u00e1 y usarlos sin provocar una cat\u00e1strofe.<\/p>\n
En el caso del sistema triple de Steiner, est\u00e1s tratando de crear tri\u00e1ngulos. Su absorbedor, en este caso, es una colecci\u00f3n de bordes cuidadosamente elegida. Si no puede ordenar el resto del sistema en tri\u00e1ngulos, puede usar algunos de los bordes que conducen al absorbente. Luego, cuando termines de hacer eso, descompones el absorbedor en tri\u00e1ngulos.<\/p>\n
La absorci\u00f3n no siempre funciona. Pero los matem\u00e1ticos han jugado con el proceso, encontrando nuevas formas de esquivar los obst\u00e1culos. Por ejemplo, una poderosa variante llamada absorci\u00f3n iterativa divide los bordes en una secuencia anidada de conjuntos, de modo que cada uno act\u00faa como absorbente para el siguiente m\u00e1s grande.<\/p>\n
\u201cDurante la \u00faltima d\u00e9cada m\u00e1s o menos ha habido mejoras masivas\u201d, dijo Conlon. \u00abEs algo as\u00ed como una forma de arte, pero realmente lo han llevado al nivel de arte elevado en este punto\u00bb.<\/p>\n
El problema de Erd\u0151s era complicado incluso con la absorci\u00f3n iterativa. \u201cQued\u00f3 muy claro muy r\u00e1pidamente por qu\u00e9 este problema no se hab\u00eda resuelto\u201d, dijo Mehtaab Sawhney, uno de los cuatro investigadores que lo resolvieron, junto con Ashwin Sah, quien, al igual que Sawhney, es estudiante de posgrado en el Instituto de Tecnolog\u00eda de Massachusetts; Michael Simkin, becario postdoctoral en el Centro de Ciencias y Aplicaciones Matem\u00e1ticas de la Universidad de Harvard; y Matthew Kwan, matem\u00e1tico del Instituto de Ciencia y Tecnolog\u00eda de Austria. \u00abHubo tareas t\u00e9cnicas bastante interesantes y bastante dif\u00edciles\u00bb.<\/p>\n
Por ejemplo, en otras aplicaciones de absorci\u00f3n iterativa, una vez que terminas de cubrir un conjunto, ya sea con tri\u00e1ngulos para sistemas triples de Steiner, o con otras estructuras para otros problemas, puedes considerarlo resuelto y olvidarte de \u00e9l. Las condiciones de Erd\u0151s, sin embargo, impidieron que los cuatro matem\u00e1ticos hicieran eso. Un grupo problem\u00e1tico de tri\u00e1ngulos podr\u00eda involucrar f\u00e1cilmente nodos de m\u00faltiples conjuntos absorbentes.<\/p>\n
\u201cUn tri\u00e1ngulo que elegiste hace 500 pasos, necesitas recordar de alguna manera c\u00f3mo pensar en eso\u201d, dijo Sawhney.<\/p>\n
Lo que los cuatro finalmente descubrieron fue que si eleg\u00edan sus tri\u00e1ngulos con cuidado, podr\u00edan eludir la necesidad de realizar un seguimiento de cada peque\u00f1a cosa. \u201cLo que es mejor hacer es pensar en cualquier conjunto peque\u00f1o de 100 tri\u00e1ngulos y garantizar que ese conjunto de tri\u00e1ngulos se elija con la probabilidad correcta\u201d, dijo Sawhney.<\/p>\n
Los autores del nuevo art\u00edculo son optimistas de que su t\u00e9cnica puede extenderse m\u00e1s all\u00e1 de este problema. Ya han aplicado su estrategia a un problema de cuadrados latinos, que son como una simplificaci\u00f3n de un sudoku.<\/p>\n
M\u00e1s all\u00e1 de eso, hay varias preguntas que eventualmente pueden dar lugar a m\u00e9todos de absorci\u00f3n, dijo Kwan. \u00abHay tantos problemas en la combinatoria, especialmente en la teor\u00eda del dise\u00f1o, donde los procesos aleatorios son una herramienta realmente poderosa\u00bb. Uno de esos problemas, la conjetura de Ryser-Brualdi-Stein, tambi\u00e9n se trata de cuadrados latinos y espera una soluci\u00f3n desde la d\u00e9cada de 1960.<\/p>\n
Aunque la absorci\u00f3n puede necesitar un mayor desarrollo antes de que pueda resolver ese problema, ha recorrido un largo camino desde su inicio, dijo Maya Stein, subdirectora del Centro de Modelado Matem\u00e1tico de la Universidad de Chile. \u00abEs algo realmente genial de ver, c\u00f3mo evolucionan estos m\u00e9todos\u00bb.<\/p>\n
historia original<\/em> reimpreso con permiso de<\/em> Revista Cuanta, una publicaci\u00f3n editorialmente independiente de la<\/em> Fundaci\u00f3n Simons<\/em> cuya misi\u00f3n es mejorar la comprensi\u00f3n p\u00fablica de la ciencia al cubrir los desarrollos y tendencias de investigaci\u00f3n en matem\u00e1ticas y ciencias f\u00edsicas y de la vida.<\/em><\/p>\n<\/div>\n