Ahora, ¿y si me muevo? fuera de esta esfera? Resulta que el campo gravitatorio debido a una distribución esférica produce el mismo campo gravitatorio que si toda la masa estuviera concentrada en un solo punto en el centro de la esfera. Esto es bastante bueno, ya que nos permite calcular fácilmente el campo gravitatorio de la Tierra simplemente usando la distancia desde el centro del objeto, en lugar de preocuparnos por su tamaño real y su masa total.
Ahora, tenemos una cosa más que considerar: ¿Cómo cambia el campo gravitatorio (y por lo tanto tu peso) a medida que te acercas al centro de la Tierra? Necesitaremos esta información para averiguar cuánto tendría que hacer un túnel una persona para reducir su peso en 20 libras.
Comencemos con la Tierra como una esfera de radio (R) y masa (m). En esta primera aproximación, supondré que la densidad de la Tierra es constante, de modo que la masa por unidad de volumen de las cosas en la superficie (como las rocas) es la misma masa por volumen que las cosas en el centro (como el magma). En realidad, esto no es cierto, pero está bien para este ejemplo.
Imagina que cavamos un hoyo y una persona baja por él hasta una distancia (r) del centro de la Tierra. La única masa que importa para el campo gravitacional (y el peso) es esta esfera de radio (r). Pero recuerda, el campo gravitatorio depende tanto de la masa del objeto como de la distancia desde el centro de la esfera. Podemos encontrar la masa de esta parte interna de la Tierra diciendo que la razón de su masa a la masa de toda la Tierra es la misma que la razón de sus volúmenes, porque asumimos una densidad uniforme. Con eso, y un poco de matemática, obtenemos la siguiente expresión:
Ilustración: Rhett Allain
Esto dice que el campo gravitacional dentro de la Tierra es proporcional a la distancia de la persona al centro. Si desea reducir su peso en 20 libras (digamos 20 de 180 libras), deberá reducir el campo gravitatorio en un factor de 20/180, o 11,1 por ciento. Eso significa que tendrían que moverse a una distancia del centro de la Tierra de 0,889 × R, que es un agujero que es solo 0,111 veces el radio de la Tierra. Sencillo, ¿verdad?
Bueno, la Tierra tiene un radio de 6,38 millones de metros, unas 4000 millas, lo que significa que el agujero tendría que tener una profundidad de 440 millas. De hecho, es incluso más profundo que eso, porque la densidad de la Tierra no es constante. Va desde unos 3 gramos por centímetro cúbico en la superficie hasta unos 13 g/cm3 en el núcleo Esto significa que necesitarías desquitarte cerca al centro para obtener una reducción de peso de 20 libras. Buena suerte con eso. Si realmente quieres perder peso, será mejor que te unas a un gimnasio.