Luego, el otoño pasado, Milman se tomó un año sabático y decidió visitar a Neeman para que la pareja pudiera concentrarse en el problema de la burbuja. “Durante el año sabático es un buen momento para probar cosas de alto riesgo y alta ganancia”, dijo Milman.
Durante los primeros meses, no llegaron a ninguna parte. Finalmente, decidieron darse a sí mismos una tarea un poco más fácil que la conjetura completa de Sullivan. Si le das a tus burbujas una dimensión adicional de espacio para respirar, obtienes una ventaja: el mejor grupo de burbujas tendrá simetría de espejo en un plano central.
La conjetura de Sullivan trata sobre burbujas triples en dimensiones dos y superiores, burbujas cuádruples en dimensiones tres y superiores, y así sucesivamente. Para obtener la simetría adicional, Milman y Neeman restringieron su atención a las burbujas triples en las dimensiones tres y superiores, las burbujas cuádruples en las dimensiones cuatro y superiores, y así sucesivamente. “Realmente, solo cuando nos dimos por vencidos en obtenerlo para la gama completa de parámetros, realmente progresamos”, dijo Neeman.
Con esta simetría de espejo a su disposición, Milman y Neeman propusieron un argumento de perturbación que consiste en inflar ligeramente la mitad del cúmulo de burbujas que se encuentra sobre el espejo y desinflar la mitad que se encuentra debajo. Esta perturbación no cambiará el volumen de las burbujas, pero podría cambiar su área de superficie. Milman y Neeman demostraron que si el cúmulo de burbujas óptimo tiene paredes que no son esféricas ni planas, habrá una manera de elegir esta perturbación para que reduzca el área de superficie del cúmulo, una contradicción, ya que el cúmulo óptimo ya tiene la menor superficie. área posible.
El uso de perturbaciones para estudiar burbujas está lejos de ser una idea nueva, pero averiguar qué perturbaciones detectarán las características importantes de un cúmulo de burbujas es «un poco como un arte oscuro», dijo Neeman.
En retrospectiva, “una vez que ves [Milman and Neeman’s perturbations]se ven bastante naturales”, dijo Joel Hass de UC Davis.
Pero reconocer las perturbaciones como naturales es mucho más fácil que pensar en ellas en primer lugar, dijo Maggi. “De lejos, no es algo que puedas decir: ‘Eventualmente, la gente lo habría encontrado’”, dijo. «Es realmente genial a un nivel muy notable».
Milman y Neeman pudieron usar sus perturbaciones para demostrar que el cúmulo de burbujas óptimo debe satisfacer todos los rasgos centrales de los cúmulos de Sullivan, excepto quizás uno: la estipulación de que cada burbuja debe tocarse entre sí. Este último requisito obligó a Milman y Neeman a lidiar con todas las formas en que las burbujas podrían conectarse en un grupo. Cuando se trata de solo tres o cuatro burbujas, no hay tantas posibilidades a considerar. Pero a medida que aumenta la cantidad de burbujas, la cantidad de diferentes patrones de conectividad posibles crece, incluso más rápido que exponencialmente.
Milman y Neeman esperaban al principio encontrar un principio general que cubriera todos estos casos. Pero después de pasar unos meses “rompiéndonos la cabeza”, dijo Milman, decidieron contentarse por ahora con un enfoque más ad hoc que les permitiera manejar burbujas triples y cuádruples. También han anunciado una prueba no publicada de que la burbuja quíntuple de Sullivan es óptima, aunque aún no han establecido que sea el único grupo óptimo.
El trabajo de Milman y Neeman es «un enfoque completamente nuevo en lugar de una extensión de los métodos anteriores», escribió Morgan en un correo electrónico. Es probable, predijo Maggi, que este enfoque pueda llevarse aún más lejos, tal vez a grupos de más de cinco burbujas, oa los casos de la conjetura de Sullivan que no tienen la simetría del espejo.
Nadie espera que se produzcan más progresos fácilmente; pero eso nunca ha disuadido a Milman y Neeman. “Desde mi experiencia”, dijo Milman, “todas las cosas importantes que tuve la suerte de poder hacer requerían simplemente no rendirme”.
historia original reimpreso con permiso de Revista Cuanta, una publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir los desarrollos y tendencias de investigación en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.