El objetivo aquí es trazar triángulos en la parte superior de estas líneas de modo que los triángulos satisfagan dos requisitos: Primero, no hay dos triángulos que compartan un borde. (Los sistemas que cumplen con este requisito se denominan sistemas triples de Steiner). Y segundo, asegúrese de que cada pequeño subconjunto de triángulos utilice una cantidad suficientemente grande de nodos.
La forma en que los investigadores hicieron esto quizás se entienda mejor con una analogía.
Digamos que en lugar de hacer triángulos con bordes, estás construyendo casas con ladrillos de Lego. Los primeros edificios que haces son extravagantes, con refuerzos estructurales y ornamentación elaborada. Una vez que hayas terminado con estos, déjalos a un lado. Servirán como un «absorbedor», una especie de reserva estructurada.
Ahora empieza a hacer edificios con los ladrillos que te quedan, procediendo sin mucha planificación. Cuando su suministro de Legos disminuye, es posible que se encuentre con algunos ladrillos sueltos o casas que no sean sólidas estructuralmente. Pero dado que los edificios absorbentes están tan exagerados y reforzados, puede arrancar algunos ladrillos aquí y allá y usarlos sin provocar una catástrofe.
En el caso del sistema triple de Steiner, estás tratando de crear triángulos. Su absorbedor, en este caso, es una colección de bordes cuidadosamente elegida. Si no puede ordenar el resto del sistema en triángulos, puede usar algunos de los bordes que conducen al absorbente. Luego, cuando termines de hacer eso, descompones el absorbedor en triángulos.
La absorción no siempre funciona. Pero los matemáticos han jugado con el proceso, encontrando nuevas formas de esquivar los obstáculos. Por ejemplo, una poderosa variante llamada absorción iterativa divide los bordes en una secuencia anidada de conjuntos, de modo que cada uno actúa como absorbente para el siguiente más grande.
“Durante la última década más o menos ha habido mejoras masivas”, dijo Conlon. «Es algo así como una forma de arte, pero realmente lo han llevado al nivel de arte elevado en este punto».
El problema de Erdős era complicado incluso con la absorción iterativa. “Quedó muy claro muy rápidamente por qué este problema no se había resuelto”, dijo Mehtaab Sawhney, uno de los cuatro investigadores que lo resolvieron, junto con Ashwin Sah, quien, al igual que Sawhney, es estudiante de posgrado en el Instituto de Tecnología de Massachusetts; Michael Simkin, becario postdoctoral en el Centro de Ciencias y Aplicaciones Matemáticas de la Universidad de Harvard; y Matthew Kwan, matemático del Instituto de Ciencia y Tecnología de Austria. «Hubo tareas técnicas bastante interesantes y bastante difíciles».
Por ejemplo, en otras aplicaciones de absorción iterativa, una vez que terminas de cubrir un conjunto, ya sea con triángulos para sistemas triples de Steiner, o con otras estructuras para otros problemas, puedes considerarlo resuelto y olvidarte de él. Las condiciones de Erdős, sin embargo, impidieron que los cuatro matemáticos hicieran eso. Un grupo problemático de triángulos podría involucrar fácilmente nodos de múltiples conjuntos absorbentes.
“Un triángulo que elegiste hace 500 pasos, necesitas recordar de alguna manera cómo pensar en eso”, dijo Sawhney.
Lo que los cuatro finalmente descubrieron fue que si elegían sus triángulos con cuidado, podrían eludir la necesidad de realizar un seguimiento de cada pequeña cosa. “Lo que es mejor hacer es pensar en cualquier conjunto pequeño de 100 triángulos y garantizar que ese conjunto de triángulos se elija con la probabilidad correcta”, dijo Sawhney.
Los autores del nuevo artículo son optimistas de que su técnica puede extenderse más allá de este problema. Ya han aplicado su estrategia a un problema de cuadrados latinos, que son como una simplificación de un sudoku.
Más allá de eso, hay varias preguntas que eventualmente pueden dar lugar a métodos de absorción, dijo Kwan. «Hay tantos problemas en la combinatoria, especialmente en la teoría del diseño, donde los procesos aleatorios son una herramienta realmente poderosa». Uno de esos problemas, la conjetura de Ryser-Brualdi-Stein, también se trata de cuadrados latinos y espera una solución desde la década de 1960.
Aunque la absorción puede necesitar un mayor desarrollo antes de que pueda resolver ese problema, ha recorrido un largo camino desde su inicio, dijo Maya Stein, subdirectora del Centro de Modelado Matemático de la Universidad de Chile. «Es algo realmente genial de ver, cómo evolucionan estos métodos».
historia original reimpreso con permiso de Revista Cuanta, una publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir los desarrollos y tendencias de investigación en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.